Kernelgewichte

Kernelgewichte bezeichnet in der Statistik die Gewichte, mit denen Beobachtungen in kernelbasierten Schätzern beeinflusst werden. Sie entstehen durch die Anwendung einer Kernel-Funktion K und eines Bandbreitenparameters h auf die Abstände zwischen dem zu schätzenden Punkt x und den Beobachtungen X_i. Die Gewichte sind in der Regel nicht negativ und hängen stark von der Entfernung ab; näher liegende Beobachtungen erhalten höhere Gewichte.

In der kernelbasierten Wahrscheinlichkeitsdichteschätzung (KDE) und der Kernel-Glättung bzw. der nichtparametrischen Regression werden die Gewichte genutzt, um die Schätzungen am Punkt x zu bilden. Beispielsweise ist die Dichte an x proportional zur Summe der Kernelwerte K((x − X_i)/h) (ggf. normiert durch nh). In der Nadaraya-Watson-Regression m̂(x) = sum w_i(x) Y_i / sum w_i(x) mit w_i(x) ∝ K((x − X_i)/h).

Die Wahl der Kernel-Funktion und insbesondere der Bandbreite beeinflusst das Bias-Varianz-Verhältnis und die Glätte der Schätzung. Eine größere Bandbreite h führt zu stärkerem Glätten und damit zu geringerer Varianz, aber höherem Bias. Kernel mit kompakter Unterstützung liefern nur Beobachtungen in der Nähe von x, was Berechnungen beschleunigt, während ungekürzte Kernel (z. B. der Gauß-Kernel) Funktionen mit Gewichtungen über weitere Entfernungen verwenden.

Typische Kernel sind der Gauß-Kernel (Normalverteilung), Epanechnikov, Uniform, Dreiecks- und Biweight. In mehrdimensionalen Anwendungen kommen Produktkerne oder radiale Kernel zum Einsatz. Die Kernelgewichte werden oft so skaliert, dass sie eine sinnvolle Normalisierung ergeben; häufig summieren sie sich zu 1.

Die Bestimmung geeigneter Kernelgewichte erfolgt durch Bandbreitenwahl-Verfahren wie Cross-Validation oder Regel-der-Daumen. Kernelgewichte sind zentral für nichtparametrische Schätzverfahren und finden breite Anwendung in Statistik, Ökonometrie und räumlicher Analyse.