Kegelobjekte

Kegelobjekte sind ein in der deutschen mathematischen Fachsprache vorkommender Begriff, der je nach Teilgebiet unterschiedliche, aber verwandte Konzepte mit konischer Struktur bezeichnet. In der Geometrie bezieht sich der Ausdruck häufig auf konische Körper: ein Kegel besteht aus allen Geraden, die durch einen festen Scheitelpunkt und durch Punkte einer Grundfläche gehen. Das klassische Beispiel ist der dreidimensionale Kegel mit Scheitelpunkt und einer kreisförmigen Grundfläche.

In der konvexen Geometrie und der linearen Algebra versteht man unter Kegel oft eine konische Menge: ein Kegel C in einem Vektorraum V ist eine Menge, die abgeschlossen ist unter nicht-negativen Linearkombinationen. Das heißt, wenn x und y in C liegen und α, β ≥ 0, dann αx + βy auch in C liegt. Solche Strukturen sind zentral in der Optimierung, etwa bei konischen Optimierungsproblemen oder der Definition der konischen Hülle einer Punktmenge.

In der Kategorietheorie bezeichnet man mit Kegelobjekt (Kegel über ein Diagramm) eine Struktur aus einem Objekt N und Morphismen N → D(i) zu jedem Objekt D(i) des Diagramms D. Solche Kegel dienen dazu, Grenz- beziehungsweise Limit-Objekte zu charakterisieren; das universelle Kegelobjekt entspricht einem Limit.

Kegelobjekte finden sich damit an der Schnittstelle von Geometrie, Algebra und Kategorie-Theorie und dienen als Grundlage für weitere Konstruktionen wie konische Hüllen, Produkte und Pullbacks.