Kantenlängenverhältnis

Kantenlängenverhältnis bezeichnet das Verhältnis der Längen der Kanten eines geometrischen Objekts. Es kann als das Verhältnis zwischen der längsten und der kürzesten Kante definiert werden oder als die Menge der paarweisen Verhältnisse der Kantenlängen. Es ist ein dimensionsloser Maßstab, der die Gleichartigkeit oder Varianz der Kantentypen eines Objekts beschreibt.

In Polygonen und Polyedern kommt das Kantenlängenverhältnis zur Einsicht, wie ungleich oder gleichmäßig die Kanten verteilt sind. Bei gleichlangen Kanten, wie bei regelmäßigen Polygonen oder regelmäßigen Polyedern, beträgt das Verhältnis 1. Bei Objekten mit drei unterschiedlichen Kantentypen, etwa einem Rechteckprisma mit Kantenlängen a, b und c, ergeben sich die Verhältnisse zwischen den einzelnen Längen sowie das Gesamtverhältnis L_max/L_min. Das Kantenlängenverhältnis ist besonders nützlich, um Unterschiede in der Kantengrößenordnung zu charakterisieren, ohne die Orientierung oder die Winkel zu berücksichtigen.

Berechnung und Eigenschaften: Wird die größte und die kleinste Kantlänge gemessen, ergibt sich r = L_max / L_min. Zusätzlich kann das vollständige Set der paarweisen Verhältnisse L_i/L_j betrachtet werden. Das Verhältnis ist invariants unter Skalierung bzw. gleichförmiger Transformationen, da es dimensionslos bleibt.

Anwendungen und Grenzen: Das Kantenlängenverhältnis findet Verwendung in Design, Architektur, Computergraphik, Materialwissenschaften und in der geometrischen Charakterisierung von Netzen. Es gibt jedoch eine begrenzte Aussagekraft, da es neben den Längen auch Winkel, Flächenformen und Geometrie eines Objekts außer Acht lässt. Für eine umfassende Charakterisierung sind oft weitere Maße wie Winkelverteilungen, Flächen- und Formenbeschreibungen erforderlich. Beispiele: bei einem Würfel beträgt das Verhältnis 1; bei einem Rechteckprisma mit Kanten 2, 3 und 5 ergibt sich L_max/L_min = 5/2 = 2,5. Die weiteren paarweisen Verhältnisse sind 2/3, 2/5 und 3/5.