Kalmanfiltermodellen

Kalmanfiltermodellen är en probabilistisk metod för att estimera tillstånd i dynamiska system från osäkra mätningar. Den används när systemets rörelse och observationer kan beskrivas som linjära relationer med gaussiskt brus och där tillståndet inte direkt observeras. Modellen bygger på ett tillståndsrum som beskriver hur tillståndet uppdateras över tid och hur observationerna relateras till tillståndet.

I den diskreta tiden används två grundläggande linjära ekvationer: Tillståndsmodellen x_k = F x_{k-1} + B u_k + w_k och Mätningsmodellen z_k = H x_k + v_k. Här är x_k tillståndsvektorn, z_k observationer, u_k styrsignaler, w_k och v_k process- respektive mätbrus, som antas vara noll-mean Gaussiskt med kovarianserna Q respektive R. Kalmanfiltret består av två steg: förutsägelse (predict) och uppdatering (update). Under förutsägelsen beräknas x̂_{k|k-1} = F x̂_{k-1|k-1} + B u_k och P_{k|k-1} = F P_{k-1|k-1} F^T + Q. Vid uppdateringen beräknas Kalmanfaktorn K_k = P_{k|k-1} H^T (H P_{k|k-1} H^T + R)^{-1}, därefter x̂_{k|k} = x̂_{k|k-1} + K_k (z_k − H x̂_{k|k-1}) och P_{k|k} = (I − K_k H) P_{k|k-1}.

Under antagandet om linjära modeller och gaussiskt brus är Kalmanfiltret optimalt i minimal kvadratiskt fel-sense. Verisioner och tillägg finns: Extended Kalman Filter för icke‑linjära system, Unscented Kalman Filter och partikelbaserade metoder för icke‑gaussiska tillstånd. Vanliga tillämpningar inkluderar navigering, flyg- och fordonsdrift, robotik och ekonomisk tidsseriebehandling. Begränsningar är känslighet för modellfel och val av Q och R, samt att modellen ofta kräver noggrann anpassning för att behålla stabilitet och prestanda.