Iterationsmetoden

Iterationsmetoden, eller den iterativa metoden, är en samling numeriska tekniker för att approximera lösningar till ekvationer genom upprepade uppdateringar. En generisk formulering är x_{k+1} = G(x_k), där x_k är en approximation till lösningen och G är en funktion som returnerar nästa uppskattning. Metoden används för att lösa icke-linjära ekvationer och system av linjära eller icke-linjära ekvationer, särskilt när direkta lösningar är dyra eller omöjliga att få.

Konvergensen beror på egenskaper hos G och närliggande lösning x*. En vanlig tillämpning är fastpunktsiteration där man söker x = G(x). Om G är en kontraktionsavbildning i en närhet av x*, det vill säga det finns en konstant L < 1 så att |G(x) - G(y)| ≤ L|x - y|, då konvergerar sekvensen mot x* från varje startpunkt i området. Konvergensen är i allmänhet linjär; hastigheten bestäms av L. Vissa metoder ger snabbare konvergens, exempelvis Newtons metod som ger kvadratisk konvergens under lämpliga antaganden.

Inom linjärsystem är iterativa metoder som Jacobi och Gauss-Seidel ofta skrivna som x_{k+1} = Hx_k + c och analyseras via spectralradiusen ρ(G). Om ρ(G) < 1 konvergerar metoden. Fördelarna är lågt minnesbehov och god skalbarhet, särskilt för stora glesa system. Begränsningar inkluderar att konvergens inte är garanterad för alla problem och val av initialgissning och eventuell förbehandling är avgörande.

Vanliga varianter inkluderar konvergensförbättrande tekniker som uppdelningar av koefficientmatriser (D, L, U), överrelaxation (SOR) eller mer avancerade metoder som konjugat-gradient och GMRES i mer allmänna fall.

---