Irrationalitätsbeweis

Ein Irrationalitätsbeweis ist ein Beweis, der zeigt, dass eine gegebene Zahl oder Größe irrational ist, das heißt, sie kann nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen dargestellt werden. Typischerweise erfolgt der Beweis durch Widerspruch: Man geht davon aus, dass die Zahl rational ist, und versucht, daraus eine logische Unmöglichkeit abzuleiten. Oft nutzt man dabei Eigenschaften der ganzen Zahlen, der Parität oder der Primfaktorzerlegung.

Zu den gängigen Methoden gehören der Beweis durch Widerspruch, der unendliche Abstieg und Argumente über die Struktur von Zähler und Nenner in Bruchdarstellungen. Auch die Bedeutung der Dezimaldarstellung oder der Darstellung als Kettenbruch kann eingesetzt werden, um Irrationalität zu zeigen. In vielen Fällen lässt sich so zeigen, dass eine Zahl weder periodisch noch endlich in einer bestimmten Darstellung ist.

Ein klassisches Beispiel ist die Irrationalität von Wurzel aus 2. Man nimmt an, sqrt(2) = p/q mit ganzen Zahlen p und q, die teilerfremd sind. Aus der Gleichung 2 q^2 = p^2 folgt, dass p gerade ist, also p = 2k. Dann ergibt sich aus 2 q^2 = 4 k^2, dass q^2 = 2 k^2 und damit auch q gerade. Damit hätten p und q gemeinsam einen Faktor 2, was der Annahme der Teilerfremdheit widerspricht. Also ist sqrt(2) irrational.

Allgemein gilt: Für jede positive ganze Zahl n, die keine Quadratzahl ist, ist sqrt(n) irrational. Über weitere Konstanten wie e oder π existieren ebenfalls Irrationalitätsbeweise, oft mit fortgeschrittenen Techniken; e ist irrational, und π ist irrational bewiesen. Irrationalitätsbeweise haben eine zentrale Rolle in der Zahlentheorie und der Realanalyse, da sie fundamentale Eigenschaften reeller Zahlen klären.