Invariánsok

Az invariánsok (invariants) olyan mennyiségek vagy tulajdonságok, amelyek meghatározott transzformációk vagy folyamatsorozatok hatására változatlanok maradnak. A fogalom a matematika sok ágában és a fizikában, számítástechnikában is alapvető szerepet játszik, mivel lehetővé teszi objektumok összehasonlítását, osztályozását és bizonyítási eszközök megfogalmazását.

Geometriai invariánsok közé tartozik például a távolság és a szögek megőrzése isometrikus transzformációk alatt; továbbá az isometrikusan megőrzött terület és térfogat. Az algebra területén invariánsok lehetnek a hasonlóság alatti sajátértékek halmaza, valamint a nyom (trace) és a determináns, amelyek a hasonlósági osztályokra jellemző invariánsok.

Topológiában a legfontosabb invariánsok közé tartozik az Euler-karakterisztika, a felületek genusának meghatározása és a homológiai, kohomológiai csoportok, amelyeket minden homeomorfizmus alatt megőrződnek. Dinamikai rendszerekben a mozgás energiája, a lineáris momentum és más szimmetriákhoz kötődő invariánsok a Noether-tétel következtében maradandók, ha a rendszer szimmetriái adottak.

Számítástechnikai alkalmazásokban invariánsokat például programozási invariánsokkal írnak le: olyan állapotfeltételek, amelyeket a végrehajtás minden lépésében fenntartanak, ezzel a helyesség bizonyítása történik. Például egy ciklus invariánsa lehet egy összeg vagy egy előrehaladás mértéke.

Az invariánsok fogalma a klasszikus geometriából származik, majd a 19–20. századi algebra és topológia fejlődésével széleskörű egységgé vált. Noether-tétel kapcsolja össze a szimmetriákat és invariánsokat, és ma nélkülözhetetlen eszköz a problémák megértésében és a szerkezetek osztályozásában.