Eulerkarakterisztika

Eulerkarakterisztika, gyakran χ, egy topológiai invariáns, amely a terek alakjának alapvető jellemzőjét méri. A definíció véges simpliciális vagy CW-komplexumokra adható meg: χ = ∑_k (-1)^k f_k, ahol f_k a k-dimenziós simplicesek száma (vagy k-szintű sejtek száma) a komplexumban. Alternatív megközelítés: χ = ∑_i (-1)^i b_i, ahol b_i a tér i-dik Betti-száma. Eredetileg Leonhard Euler vezette be a poliedrök összefüggésére: a gömbre illeszkedő poliedrárokra V − E + F = χ, és a véges polyhedra mindegyikére χ=2.

További jellemzők és példák: a sík vagy zárt felületek esetében χ jól viselkedik a triangulációtól függetlenül, mert invariáns a topológiai típusra. Gyakorlati példák: a gömb S^2 χ = 2; a torusz T^2 χ = 0; a projektív sík RP^2 χ = 1. A felületek esetén az orientált zárt felület genusát g kapcsolja a χ-hez: χ = 2 − 2g. Nem orientált felületeknél pedig χ = 2 − k, ahol k a nem orientált genus (például kózási számú projektív síkok összege).

Alapvető tulajdonságok között szerepel, hogy χ invariáns a homeomorfizmus és gyakran a homotópia invariánsa is; kiszámítható véges CW-komplexumokból vagy simplicial komplexumokból. Emellett a véges CW-komplexeknél χ szorzódik a Cartesian szorzatával: χ(X × Y) = χ(X) χ(Y). Számbavételekor gyakran használják a Betti-számokra vagy a sejtek számának váltakozó összegére vezethető formulákat.