sajátértékek

A sajátértékek a négyzetes mátrix A olyan skalár értékei, amelyekhez létezik nem nulla sajátvektor v, úgy hogy Av = λv. Ilyenkor a lineáris transzformáció egy irányban csupán skalárral növeli vagy csökkenti a v vektor hosszát, miközben iránya megmarad.

A sajátértékek meghatározása: oldjuk meg det(A − λI) = 0 egyenletet, amely a A − λI determinánsának gyökei, azaz a sajátértékek. A valós mátrixok esetében lehetnek valós vagy komplextípusúak, utóbbiak akkor fordulnak elő, ha A nem valamilyen szimmetrikus típusú.

Fontos tulajdonságok: a sajátértékek összege megegyezik a mátrix nyomával (trace), a szorzatuk pedig a determinánssal. Minden sajátértékhez több sajátvektor tartozhat; az algebrai multiplicity és a geometriai multiplicity különbözik, ha a mátrix nem diagonalisálható. Ha egy n×n-es mátrixnak n különböző sajátértéke van, akkor diagonalisálható, azaz van olyan invertálható P mátrix, amelyre P⁻¹AP diagonális.

Különleges esetek: valós szimmetrikus mátrixok esetén minden sajátérték valós, és a hozzárendelt sajátvektorok etorthogonálisak; ezek alapján a mátrix könnyen diagonalisálható.

Alkalmazások: sajátértékek nélkülözhetetlenek a diagonalisálásban, a lineáris differenciálegyenletek megoldásában és a stabilitás vizsgálatában. Jelentős szerepük van a Principal Component Analysis-ban (főkomponens-analízis) és a különböző dinamikai rendszerek elemzésében, ahol a mátrix sajátértékei meghatározzák a rendszer hosszú távú viselkedését. Például egy 2×2-es mátrix A esetén, ha A = [[2,1],[0,3]], sajátértékei λ = 2 és λ = 3.