sajátértékei

A sajátértékei, vagy eigenértékei egy négyzetes mátrix vagy lineáris operátor olyan skalár λ, amelyhez létezik nem nulla vektor, úgy hogy Av = λv. A v az eigenvektor, λ pedig az eigenérték. Az egész halmazt a mátrix spektruma adja meg, és fontos információt nyújt a transzformáció irányultságáról és erősségéről.

Az eigenértékek meghatározása a karakterisztikus polinom gyökei: det(A − λI) = 0. A gyökök algebrai többsége adja az algebrai többszöriséget, míg az A − λI null-területének dimenziója adja a geometriai többszöriséget. Ezen értékekhez tartozó nem nulla eigenvektorok alkotják az eigensíkot.

Diagonalizálhatóság és spektrum: ha a mátrix rendelkezik n darab lineárisan független eigenvektorral, akkor diagonalisálható, A = PDP^{-1}, ahol D a sajátértékek diagonális mátrixa. Ha A realis, és szimmetrikus, akkor a sajátértékek valósak, és A ortogonális transzformációval diagionalizálható; általában azonban előfordulhat komplex eigenérték vagy Jordan-formában való ábrázolás. A valós esetekben a komplex eigenértékek párokban fordulnak elő.

Számítás és numerikus módszerek: analitikusan a gyökök meghatározása gyakran nehéz nagy méretű rendszerek esetén. Numerikusan gyakori eljárások közé tartozik a QR-algoritmus, a hatalom-iteráció és a különböző inverz- vagy tükrös iterációk. Az eigenértékek érzékenyek lehetnek a bemeneti adatok kis változásaira, ezért a perturbáció- és kondíciós elemzés is fontos.

Alkalmazások: stabilitásvizsgálat, differenciálegyenletek megoldása, rezgésmódok meghatározása, Markov-láncok állapotainak elemzése (az egyes állapotokra jellemző eigenértékek és eigenvektorok), továbbá a főkomponens-analízis a kovariancia-mátrix legfontosabb eigenvektorait használja.