kovarianciamátrix

A kovarianciamátrix egy p-s véletlen vektor kovarianciáját jellemzi. Ha X ∈ R^p egy véletlen vektor, μ = E[X] a várható értéke, akkor a kovarianciamátrix Cov(X) = Σ = E[(X − μ)(X − μ)^T].

Σ szimmetrikus és pozitív féldefinit; minden x ∈ R^p esetén x^T Σ x ≥ 0. Az elemei Σ_ij a X_i és X_j kovarianciáját jelentik, és Σ_ij = Cov(X_i, X_j). Ha a komponensek lineárisan összhangban mozognak, Σ tükrözi ezt a struktúrát; ha a komponensek között nulla a kovariancia, az off-diagonal elemek közelítenek a nullához.

Mintavételi becslésként a minta kovariancia mátrix használható. Ha n megfigyelés x_1, ..., x_n ∈ R^p van, a mintakovariancia S = (1/(n−1)) ∑_{i=1}^n (x_i − x̄)(x_i − x̄)^T, ahol x̄ a mintaátlag. S unbiased és konzisztens becslése Σ-nek adott feltételek mellett.

Spektrális felbontás: Σ = Q Λ Q^T, ahol Q ortogonális, Λ = diag(λ_1, ..., λ_p) a nemnegatív sajátértékekkel. Ebből származik a PCA, mert a legnagyobb λ-hoz tartozó irányok a legnagyobb varianciát írják le.

Kapcsolatok és alkalmazások: X ~ N_p(μ, Σ) esetén Σ a Wishart eloszlás szereplője a minta alapján. Például két változó esetén, ha varianciák 4 és 9, korreláció 0,8, akkor Σ = [[4, 4,8], [4,8, 9]]; a kovariancia-mátrix a lineáris kapcsolatok és a fent említett módszerek alapja a multivariat statisztikában. Alkalmazások közé tartozik a PCA, MANOVA, diskriminanciaelemzés, illetve a pénzügyi kockázat-kezelés. A Σ méretezésétől függően lehetséges a korrelációs mátrix vagy standardizált változók használata.