Intervallabstände

Intervallabstände bezeichnen den geringsten Abstand zwischen zwei Intervallen. In der Regel betrachtet man reelle Intervalle I = [a,b] und J = [c,d] mit a ≤ b und c ≤ d. Der Intervallabstand d(I,J) ist der infimum der Entfernungen zwischen Punkten aus I und J. Für geschlossene Intervalle gilt eine einfache Berechnung: Liegen I und J so, dass sie sich überlappen oder berühren, ist der Abstand 0. Sind sie disjunkt, ergibt sich der Abstand aus dem Gap zwischen ihnen.

Eine gebräuchliche Formulierung lautet d(I,J) = max(0, max(a,c) - min(b,d)). Daraus ergibt sich im Spezialfall: Wenn b < c, d(I,J) = c - b; wenn d < a, d(I,J) = a - d; andernfalls, also bei Überlappung oder Berührung, d(I,J) = 0.

Verallgemeinert man das Konzept auf höheren Dimensionen, spricht man von Achsen-parallelen Rechtecken (Hyperrechtecken) in R^n. Sei I = [l1,u1] × … × [ln,un] und J = [l1',u1'] × … × [ln',un']. Dann definiert man per Dimension Gap_i = max(0, max(li, li') - min(ui, ui')), und der Abstand kann zum Beispiel als die euklidische Distanz der Gap-Vektoren berechnet werden: d(I,J) = sqrt(sum_i Gap_i^2). Andere Normen wie die L∞-Norm liefern ähnliche Konzepte.

Anwendungen finden Intervallabstände in der Intervalarithmetik, der Robusten Numerik, der Kollisionsdetektion in der Computergrafik, sowie in Optimierungs- und Feingitterverfahren, wo der Abstand zwischen Boxen die Nähe zweier Lösungen oder Objekte charakterisiert.

Beispiele: I=[1,4], J=[3,6] überlappen, Abstand 0. I=[1,2], J=[4,5] ergibt d(I,J) = 2. In mehreren Dimensionen ergibt sich der Abstand aus den per Dimension gebildeten Gap-Komponenten.