Integraaliyhtälöiden

Integraaliyhtälöt ovat matemaattisia yhtälöitä, joissa tuntematon funktio esiintyy integraalin sisällä. Ne ovat keskeinen osa monia fysiikan, tekniikan ja muiden tieteenalojen ongelmien ratkaisemista. Integraaliyhtälöitä voidaan luokitella eri tavoin, mutta yleisin luokittelu perustuu tuntemattoman funktion esiintymiseen integraalissa.

Ensimmäisen tyypin Fredholmin yhtälöissä tuntematon funktio esiintyy vain integraalin sisällä, ja integraalin rajat ovat vakioita. Toisen tyypin Fredholmin yhtälöissä tuntematon funktio esiintyy sekä integraalin sisällä että sen ulkopuolella. Volterran yhtälöissä integraalin yläraja on muuttuja. Näiden lisäksi on olemassa integro-differentiaaliyhtälöitä, jotka sisältävät sekä derivaattoja että integraaleja tuntemattomasta funktiosta.

Integraaliyhtälöiden ratkaisumenetelmät vaihtelevat yhtälön tyypin ja rakenteen mukaan. Yleisiä menetelmiä ovat esimerkiksi ytimen (kernel) ominaisarvojen ja ominaisfunktioiden käyttö, suppenevien sarjojen kehittely ja numeeriset menetelmät. Integraaliyhtälöiden ratkaiseminen on usein haastavampaa kuin tavallisten differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen. Niiden merkitys kasvaa jatkuvasti, sillä monet reaalimaailman ilmiöt, kuten aaltoliike ja diffuusio, voidaan mallintaa tehokkaasti integraaliyhtälöiden avulla.