ratkaisumenetelmät

Ratkaisumenetelmät ovat perinteisiä ja nykyaikaisia keinoja, joilla ratkaistaan erilaisia ongelmia matematiikassa ja laskennassa. Ne kattavat yhtälöjärjestelmien ja optimointitehtävien ratkaisut sekä numeerisen laskennan sovellukset tieteissä, tekniikassa ja taloudessa. Tavoitteena on saada käyttökelpoisia ratkaisuja, arvioida niiden tarkkuutta ja huomioida laskennan kesto sekä vakaus.

Ratkaisumenetelmät voidaan jakaa useampaan luokkaan. Analyyttiset (symboliset) menetelmät tuottavat tarkan ratkaisun matemaattisella kaavalla, kun taas numeeriset (lennon) menetelmät antavat likimääräisen ratkaisun tietylle tarkkuudelle. Eksaktit ratkaisut eivät aina ole mahdollisia tai käytännöllisiä, jolloin korostuvat likimääräiset ja monistisäädettävät menetelmät. Lisäksi erotetaan deterministiset ja stokastiset menetelmät sekä paikalliset että globaalit konvergenssimekanismit.

Esimerkkejä matematiikasta: lineaaristen järjestelmien ratkaiseminen Gaussin eliminoinnilla tai LU-murtamisella sekä iteratiiviset menetelmät kuten Jacobi ja Gauss-Seidel. Epälineaarisissa ongelmissa käytetään Newtonin menetelmää, kiinteän pisteen menetelmiä ja välillä myös bisection-tyyppejä yksittäisille yhtälöille.

Optimointi ja numeerinen laskenta: konpureissa ongelmissa sovelletaan gradienttien ja konjugoitujen gradienttien menetelmiä sekä sisäisen pisteen ja simplex-tyylisiä menetelmiä. Diferentiaali- ja tilastollisissa ongelmissa käytetään esimerkiksi pienin neliöin, muunnoksia sekä diskretisointitekniikoita kuten finite difference, finite element ja finite volume.

Valinta riippuu ongelman rakenteesta, toivotusta tarkkuudesta ja käytettävissä olevasta laskentatehosta. Hyvä ratkaisumenetelmä huomioi virheiden ja konvergenssin hallinnan sekä sovelluksen käytännön rajoitteet.