integrodifferentiaaliyhtälöitä

Integrodifferentiaaliyhtälöitä ovat matemaattisia yhtälöitä, jotka sisältävät tuntemattoman funktion sekä sen derivaattoja ja integraaleja. Ne ovat yleistys tavallisista differentiaaliyhtälöistä, joissa esiintyy vain funktion derivaattoja, ja integraaliyhtälöistä, joissa esiintyy vain integraaleja. Integrodifferentiaaliyhtälöt kuvaavat monenlaisia ilmiöitä fysiikassa, tekniikassa, biologisissa tieteissä ja taloustieteessä.

Yksinkertaisin integrodifferentiaaliyhtälö voi olla muotoa $y'(x) = f(x) + \int_a^b K(x, t, y(t)) dt$. Tässä $y(x)$ on tuntematon funktio, $y'(x)$ sen derivaatta, $f(x)$ tunnettu funktio ja $K(x, t, y(t))$ integraalin ydin eli kernel-funktio. Yhtälö voi sisältää myös useita tuntemattomia funktioita ja korkeampia derivaattoja.

Integrodifferentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen voi olla haastavaa. Menetelmiä ovat muun muassa numeeriset menetelmät, kuten differenssimenetelmät tai spektrimenetelmät, sekä analyyttiset menetelmät, kuten Laplacen muunnos tai Picardin iterointi. Ratkaisujen olemassaoloa, yksikäsitteisyyttä ja stabiiliutta tutkitaan usein teoria tasolla.

Integrodifferentiaaliyhtälöiden sovelluksia löytyy esimerkiksi lämmönjohtumisesta, diffuusiosta, väestökehityksen malleista ja sähköisistä piireistä. Niiden avulla voidaan mallintaa systeemejä, joissa menneisyydellä on vaikutusta nykyhetkeen ja tulevaisuuteen.