integraaliyhtälöistä

Integraaliyhtälö on yhtälö, jossa tuntematon funktio esiintyy integraalin sisällä. Integraaliyhtälöitä voidaan jakaa kahteen päätyyppiin: Fredholmin integraaliyhtälöihin ja Volterran integraaliyhtälöihin. Lisäksi ne voidaan luokitella ensimmäisen tai toisen lajin mukaan riippuen siitä, esiintyykö tuntematon funktio myös integraalimerkin ulkopuolella.

Fredholmin integraaliyhtälöt ovat muotoa $f(x) = g(x) + \lambda \int_{a}^{b} K(x, t) f(t) dt$, missä $f(x)$ on tuntematon funktio, $g(x)$ ja $K(x, t)$ ovat tunnettuja funktioita, $\lambda$ on vakio ja $a$ ja $b$ ovat vakioita. Volterran integraaliyhtälöt ovat vastaavasti muotoa $f(x) = g(x) + \lambda \int_{a}^{x} K(x, t) f(t) dt$. Ensimmäisen lajin integraaliyhtälöissä tuntematon funktio esiintyy ainoastaan integraalin sisällä, kun taas toisen lajin yhtälöissä se esiintyy myös integraalimerkin ulkopuolella.

Integraaliyhtälöitä käytetään monilla tieteen ja tekniikan aloilla, kuten fysiikassa, mekaniikassa, sähköopissa ja kuvan käsittelyssä. Niiden ratkaisemiseen on kehitetty useita menetelmiä, kuten Fredholmin ja Volterran menetelmät, Approksimointimenetelmät ja numeeriset menetelmät. Integraaliyhtälöiden teoria on tärkeä osa matemaattista analyysiä ja sovellettua matematiikkaa.