Integraaliyhtälö

Integraaliyhtälö on yhtälö, jossa tuntematon funktio esiintyy integraalin sisällä. Ne ovat keskeisiä useilla matematiikan ja fysiikan aloilla, kuten signaalinkäsittelyssä, kvanttimekaniikassa ja todennäköisyysteoriassa. Integraaliyhtälöitä voidaan luokitella karkeasti kahteen päätyyppiin: Fredholmin integraaliyhtälöihin ja Volterran integraaliyhtälöihin. Fredholmin yhtälöissä integrointirajat ovat vakioita, kun taas Volterran yhtälöissä toinen integrointiraja on muuttuva.

Integraaliyhtälöitä voidaan edelleen jakaa ensimmäisen ja toisen tyypin yhtälöihin. Ensimmäisen tyypin integraaliyhtälössä tuntematon funktio esiintyy vain integraalin sisällä. Toisen tyypin integraaliyhtälössä tuntematon funktio esiintyy sekä integraalin sisällä että sen ulkopuolella. Monia integraaliyhtälöitä voidaan ratkaista käyttämällä erilaisia analyyttisiä tai numeerisia menetelmiä. Näitä ovat esimerkiksi ytimen degenerointi, iteratiiviset menetelmät ja operaattorimenetelmät.

Integraaliyhtälöiden ratkaisujen olemassaoloa ja yksikäsitteisyyttä koskevat kysymykset ovat tärkeitä. Monet standardimenetelmät perustuvat oletukseen, että ratkaisu on olemassa ja riittävän säännöllinen. Joskus integraaliyhtälön muuntaminen vastaavaksi differentiaaliyhtälöksi voi helpottaa sen ratkaisemista. Integraaliyhtälöiden tutkimus on jatkuvasti kehittyvä ala, ja uusia ratkaisumenetelmiä kehitetään jatkuvasti.