Ikkeabelsk

Ikkeabelsk er et begrep i gruppe­teori som beskriver en gruppe hvis binære operasjon ikke er kommutativ. En gruppe G er ikke-abeliansk hvis det finnes elementer a og b i G slik at ab ikke er lik ba. Dette står i kontrast til abelske grupper, der ab = ba for alle elementer i gruppen.

Eksempler på ikke-abelske grupper inkluderer den symmetriske gruppen S_n for n ≥ 3, som inneholder alle permutasjoner av et sett; dihedralgruppene D_n (for n ≥ 3) som beskriver symmetiene til en n-kant; quaterniongruppen Q_8. Generelle matrikkagrupper som GL(n, F) og SL(n, F) er ofte ikke-abelske for de fleste verdier av n og feltet F. Som et konkret eksempel i S_3 er det slik at la a = (1 2) og b = (1 2 3); da følger det at ab ≠ ba.

Egenskaper ved ikke-abelske grupper kan være mangfoldige. Det finnes elementer som ikke kommuterer med hverandre, og derfor er sentrum Z(G) av en ikke-abelsk gruppe ofte mindre enn hele G. Gruppens struktur blir ofte mer komplisert å studere, og representasjonslære spiller en viktig rolle i forståelsen av slike grupper.

Betydning og anvendelser: Ikke-abelske grupper er grunnleggende i fysikk, særlig i teorier om symmetri og kvantefeltteori. Innen matematikk brukes de i geometri, topologi og algebraisk strukturteori. De gir også opphav til ulike algoritmiske og kryptografiske problemstillinger, hvor ikke-kommuttativitet kan være en sentral egenskap. Se også Abelsk gruppe, Gruppe-teori og S_n for videre lesning.