representasjonslære

Representasjonslære er studiet av representasjoner av algebraiske strukturer, spesielt grupper, algebras og Lie-algebras, ved at elementene tolkes som lineære transformasjoner av vektorrom. En representasjon av en gruppe G består av en homomorfisme fra G til GL(V), gruppen av invertible lineære kart på vektorrommet V. På denne måten kan abstrakte strukturer undersøkes ved hjelp av lineær algebra og matriser.

Et grunnleggende begrep er underrepresentasjoner og dekomposisjon. En representasjon som ikke kan deles i en ikke-triviell direkte sum av underrepresentasjoner, kalles irreduksibel. For finite grupper gir Maschkes teorem et effektivt verktøy: over felt hvis karakteristikk ikke deler gruppeordenen, er hver representasjon en direkte sum av irreduksible representasjoner. Karakterer, eller sporet av representasjonsmatriser, gir en praktisk metode for klassifisering gjennom karaktertabeller.

Videre omfatter representasjonslære teorier for Lie-grupper og Lie-algebras, hvor representasjoner ofte studeres via algebraens handling på V og vektnoter. Dette hjelper til med klassifikasjon av representasjoner gjennom konsepter som vekter og høyeste vekt. For kompakte grupper er Peter-Weyl-teoremet sentralt, og Weyls høyeste vekt-teori gir dyp innsikt i representasjoner av semisimple grupper.

Anvendelser finnes i fysikk (symmetri og kvantemekanikk), kjemi (molekylers symmetri), tallteori og geometri. Feltet har røtter i arbeider av Frobenius og Burnside, og ble videre utviklet av Weyl, Cartan og Serre, blant andre.