ikkeabelske

En ikke-abelsk gruppe, eller en ikke-abelsk gruppe, er en gruppe hvor ikke alle elementer nødvendigvis kom muterer under gruppens operasjon. Det vil si at det finnes elementer a og b i gruppen G slik at ab ikke er lik ba. Hvis ab = ba for alle par av elementer, betegnes gruppen som abelsk (-abelsk).

Vanlige eksempler på ikke-abelske grupper inkluderer den symmetriske gruppen S3, som består av alle permutasjoner av tre elementer under sammensetting. S3 er av ikke-abelsk karakter fordi rekkefølgen av permutasjoner påvirker resultatet. Andre kjente eksempler er dihedralgruppen D4 (symmetrier av en firkant), quaterniongruppen Q8 og generelle linære grupper som GL(n, F) for n ≥ 2. Mange objekter i matematikk og fysikk gir ikke-abelske grupper.

Egenskaper og struktur: I en ikke-abelsk gruppe kan sentrum Z(G) være mindre enn hele gruppen, og elementer i Z(G) er de som commutterer med alle andre elementer. Den kommutatoriske undergruppen [G,G] måler graden av ikke-abelianitet; kvotienten G/[G,G] er alltid abelsk. Ikke-abelske grupper kan være endelig eller uendelig store og gir rike strukturer for videre studie i algebra og geometriske anvendelser.

Betydning og anvendelser: Ikke-abelske grupper er sentrale i moderne algebra og har bred anvendelse i fysikk (for eksempel rotasjoner og symmetrier i rommet), kjemi, geometri, kryptografi og representasjonsteori. Teorien om ikke-abelske grupper bidrar til forståelse av symmetrier, strukturer og koblinger mellom ulike matematikkdisipliner.