quaterniongruppen

Quaternionsgruppen, ofta betecknad Q8, är en icke‑abelsk grupp av ordning åtta som består av enhetsquaternionerna {±1, ±i, ±j, ±k} med multiplikation enligt quaternionsreglerna. Man har i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 och produkterna följer bland annat ij = k, jk = i och ki = j samt ji = -k, kj = -i och ik = -j. Gruppen är icke‑abellisk och dess centrum är Z(Q8) = {±1}.

Undergrupperna är {1}, {±1}, ⟨i⟩, ⟨j⟩ och ⟨k⟩, där varje av subgrupperna ⟨i⟩, ⟨j⟩ och ⟨k⟩ har ordning 4. Alla undergrupper är normal, vilket gör Q8 till en Hamiltoniansk grupp. Abelianiseringen Q8/[Q8,Q8] är isomorf med Klein fyra gruppen, så det finns fyra endimensionella komplexa representationer; det finns också en unik tvådimensionell representation (upp till equivalens). Summan av kvadraterna av dimensionskvoterna är därmed 4·1^2 + 2^2 = 8, vilket överensstämmer med gruppens ordning.

Geometriskt kan Q8 ses som gruppen av enhetsquaternioner; den verkar på R^3 genom konjugation av renkvaternioner och därigenom ge rotationer. I denna action är −1 identisk med identiteten, och de andra elementen representerar 180-gradiga rotationer kring koordinataxlarna. Q8 är också ett vanligt exempel i gruppteori som en icke‑abelsk 2‑grupp och förekommer som normal undergrupp i större grupper, till exempel i SL(2,3) och i den binära tetraedriska gruppen.