Homogenitetsproblem

Homogenitetsproblem är ett begrepp som används inom matematik och tillämpningar för att beskriva frågor om homogenitet, det vill säga egenskapen att en funktion eller ett system är invariant under skalning. I matematiska sammanhang definieras en funktion f som homogen av grad d om f(t x1, ..., t xn) = t^d f(x1, ..., xn) för alla t > 0. Begreppet används också för att beskriva problem där man försöker konstruera eller om-formulera ett problem så att det blir homogen, vilket ofta förenklar analysen och möjliggör användning av projektiv geometri eller skalningstekniker.

Inom algebra och algebraisk geometri används homogenisering av polynom för att flytta från det affina rummet till det projektiva rummet. Om P är ett polynom i variablerna x1, ..., xn med olika grader introduceras en ny variabel z och ersätts varje monom med z^{d - deg(m)} m, så att det totala graden blir d. Den homogena polynomen P_h beskriver då en projektiv variet, och egenskapen att P_h har viss faktor eller singularitet kan studeras via projektiv teknik.

Inom differentialekvationer används termerna homogen respektive inhomogen; en linjär differentialekvation L[y] = g(x) är homogen om g = 0, annars är den inhomogen. Att lösa den inhomogena ekvationen kräver ofta att hitta en partikularlösning och kombinera den med lösningarna till den homogena ekvationen.

Exempel: P(x, y) = x^2 + y är inte homogen av grad 2; homogenisering till grad 2 blir P_h = x^2 + y z.

Användningar innefattar studier av polynom, projektiv geometri och lösningsmetoder för ekvationer där skalfaktorer är centrala. Se även homogen funktion, homogenisering, projektiv geometri och homogena ekvationer.

---