Hauptträgheitsmomente

Hauptträgheitsmomente sind die drei eigenwerte der Trägheitstensor eines starren Körpers bezüglich eines gewählten Ortes, meist des Massenschwerpunkts. Der Trägheitstensor I beschreibt die Verteilung der Masse relativ zu den Koordinatenachsen und wird durch die Integrale Iij = ∫ (r^2 δij − xi xj) dm gebildet. In kartesischen Komponenten ist er eine symmetrische 3×3-Matrix, deren Eigenwerte die Hauptträgheitsmomente sind.

Die Hauptträgheitsmomente I1, I2, I3 entsprechen den Werten, wenn die Koordinatenachsen so gewählt sind, dass der Trägheitstensor diagonale Form annimmt (die Hauptachsen des Körpers). In dieser Orientierung ist der Trägheitstensor diagonal, und jeder Diagonalwert entspricht einem der drei Hauptträgheitsmomente. Die zugehörigen Eigenvektoren nennen sich Hauptachsen. Da es sich um Eigenwerte handelt, bleiben die Werte bei Drehungen des Körpers unverändert; die Richtungen der Hauptachsen ändern sich dagegen.

Für konkrete Körperformen ergeben sich einfache Formeln. Zum Beispiel hat eine homogene Ellipsoidmasse mit den Halbachsen a, b, c die Hauptmomente I1 = (1/5) M(b^2 + c^2), I2 = (1/5) M(a^2 + c^2), I3 = (1/5) M(a^2 + b^2). Eine gleichmäßig verteilte Kugel hat I1 = I2 = I3 = (2/5)MR^2. Bei Abweichungen von der Sphärität unterscheiden sich die drei Werte.

Wichtige Eigenschaften: Die Hauptträgheitsmomente hängen vom gewählten Ursprung ab; durch Verschiebung des Nullpunkts ändern sich die Werte. Sie dienen oft in Euler-Gleichungen der Rotation, Stabilitätsanalysen und der Bestimmung von Rotationsachsen, an denen sich ein Körper besonders stabil oder instabil drehen kann.