HankelFunktionen

Die HankelFunktionen, auch Hankelfunktionen genannt, sind zwei fundamentale Lösungen der Besselschen Gleichung zweiter Ordnung für einen gegebenen Ordnungsparameter ν. Sie werden oft als Bessel-Funktionen dritten Typs bezeichnet und mit Hν^(1)(z) und Hν^(2)(z) notiert.

Sie lassen sich ausdrücken als Hν^(1)(z) = Jν(z) + i Yν(z) und Hν^(2)(z) = Jν(z) - i Yν(z), wobei Jν die Besselfunktion erster Art und Yν die Besselfunktion zweiter Art (Neumannfunktion) ist. Sie erfüllen dieselbe Gleichung z^2 w'' + z w' + (z^2 − ν^2) w = 0.

Zu ihren Eigenschaften gehören die Asymptotik für große z: Hν^(1)(z) ~ sqrt(2/(π z)) e^{i(z − νπ/2 − π/4)} und Hν^(2)(z) ~ sqrt(2/(π z)) e^{-i(z − νπ/2 − π/4)}. Sie folgen Rekursionsformeln, etwa in der Form 2ν/z Hν(z) = Hν−1(z) − Hν+1(z), und Ableitungsrelationen, die aus der Besselschen Gleichung abgeleitet werden.

Anwendungsgebiete liegen in der Beschreibung zylindrischer Wellen in Physik und Ingenieurwissenschaften, etwa in Akustik, Elektromagnetismus, Streutheorie und Quantenmechanik, besonders in Problemen mit zylindrischer Symmetrie, wo Hν^(1) die ausgehende und Hν^(2) die eingehende Welle repräsentieren.

Für spezielle Ordnungswerte (insbesondere ganzzahlig ν = n) erhält man charakteristische Verhaltensweisen nahe z = 0 und in komplexen Ebenen, sowie numerische Darstellungen über Jν und Yν. Hankel-Funktionen sind eng verwandt mit Bessel-Funktionen und bilden zusammen deren dritte Art.