Halbdichten

Halbdichten (die Halbdichte, Plural Halbdichten) sind in der differentiellen Geometrie Sektionen der Quadratwurzel des Dichtebündels auf einer glatten Mannigfaltigkeit. Sie erweitern das Konzept der Dichte (Weight 1) und ermöglichen eine koordinateninvariante Analyse, ohne eine bestimmte Volumenform festlegen zu müssen. Halbdichten spielen eine zentrale Rolle in der Geometrischen Analysis und in der Geometrischen Quantisierung.

Unter einer Koordinatenänderung x nach y ändern sich Halbdichten wie eine Quadratwurzel des Betrags des jacobians: ω′(y) = ω(x) · √|det(∂x/∂y)|. Dadurch tragen Halbdichten den Transformationssatz für Halbwurzel-Dichteformen und verhalten sich entsprechend wie Abschnitte des Square-Root-Dichtebündels.

Lokal gesehen lassen sich Halbdichten wie f(x) · |dx|^{1/2} schreiben, wobei f eine gewöhnliche Funktion ist und |dx|^{1/2} die kanonische Halbdichte der Koordinaten angehört. Das Produkt zweier Halbdichten ergibt eine gewöhnliche Dichte: (f · |dx|^{1/2}) · (g · |dx|^{1/2}) = (f g) · |dx|.

In der Analysis auf Mannigfaltigkeiten ermöglichen Halbdichten die Definition von L^2-Räumen und inneren Produkten koordiniertenfrei, ohne eine feste Volumenform wählen zu müssen. In der Physik und der Geometrischen Quantisierung dient eine Halbdichte oft als Träger des „Wellenfunctions“, sodass das Betragsquadrat koordiniert unabhängig integrierbar ist.

Die globale Existenz von Halbdichten hängt davon ab, ob das Dichtebündel eine Quadratwurzel erlaubt; topologische Obstruktionen können das Vorhandensein einer globalen Halbdichte verhindern. In vielen praktischen Kontexten existieren Halbdichten jedoch global oder lokal eindeutig.

Siehe auch: Dichte, Dichtebündel, Geometrische Analysis, Geometrische Quantisierung.