Halbdichte

Halbdichte, oder Half-density, ist in der differenziellen Geometrie ein mathematisches Objekt, das als Abschnitt des Quadratwurzel-Dichtebündels einer glatten Mannigfaltigkeit verstanden wird. Eine Dichte verziert jedes Punkt mit einem Maß, das sich unter Koordinatenwechsel mit dem Betrag des Jacobi-Determinanten transformiert. Eine Halbdichte transformiert mit der Quadratwurzel dieses Betrags. Formal gesehen ist sie eine Sektion von D^{1/2}, dem Quadratwurzel-Bündel der Dichte.

In lokalen Koordinaten x = (x1, ..., xn) kann eine Halbdichte als φ(x) sqrt(|dx1 ∧ ... ∧ dxn|) geschrieben werden. Unter einem Koordinatenwechsel y = y(x) mit Jacobian J = ∂y/∂x verändert sich der Faktor entsprechend, sodass der Transformationssatz der Halbdichte sqrt(|det ∂x/∂y|) aufgenommen wird. Zwei Halbdichten multipliziert ergeben eine Dichte, da das Produkt der Quadratwurzeln wieder eine volle Maßdichte liefert. Umgekehrt liefert das Produkt einer Halbdichte mit einer Dichte ebenfalls eine Dichte.

Halbdichten spielen eine zentrale Rolle, wenn man Integrationen auf Mannigfaltigkeiten formeilt, ohne eine bevorzugte Volumenform festlegen zu müssen. Sie ermöglichen das Paaren von zwei Halbdichten zu einer Dichte, wodurch Koordinateninvariante Integrale entstehen. In der Geometrie und in der Physik, insbesondere in der Formulierung von Quantenfeldern auf gekrümmten Räumen, dienen Halbdichten der Definition von Maßstrukturen für Feldvariablen wie Fermionen, ohne explizit eine globale Volumenform voraussetzen zu müssen.

Die globale Existenz einer Halbdichte hängt von topologischen Bedingungen ab; lokal lassen sich Halbdichten stets definieren, während eine globale Halbdichte von der Struktur des Dichtebündels abhängen kann.