Hadamardprodukt

Der Hadamardprodukt, auch Schur-Produkt genannt, bezeichnet die elementweise Multiplikation zweier Matrizen derselben Größe. Für A und B der Größe m×n gilt (A ∘ B)_{ij} = A_{ij} B_{ij}. Der Begriff geht auf Jacques Hadamard zurück und wird in der linearen Algebra häufig verwendet.

Das Hadamardprodukt ist definiert für Matrizen gleicher Dimension. Es hat die Eigenschaften der Kommutativität und der Assoziativität: A ∘ B = B ∘ A und (A ∘ B) ∘ C = A ∘ (B ∘ C). Zudem gilt Distributivität über Addition: A ∘ (B + C) = A ∘ B + A ∘ C. Es wirkt als neutrales Element mit der all-Null- bzw. All-Einsen-Matrix nicht; vielmehr dient die Matrix aus Einsen als Einheit: A ∘ J = A, wobei J die Matrix der Einsen ist. Transposition erhält man sezweise durch (A ∘ B)^T = A^T ∘ B^T.

Wichtige Strukturtheoreme betreffen positive Semidefinite-Matrizen: Der Schur-Produkt-Satz (Schur-Produkt-Theorem) besagt, dass das Hadamardprodukt zweier PSD-Matrizen wieder PSD ist. Elementweise Inversen verhalten sich unter der Bedingung, dass alle Einträge ungleich null sind: (A ∘ B)^{-1} = A^{-1} ∘ B^{-1}.

Beziehungen zu anderen Operationen existieren, bleiben aber nicht identisch zum normalen Matrixprodukt AB. Eine nützliche Identität bei der Vektorisierung lautet vec(A ∘ B) = diag(vec(A)) vec(B). Daraus folgt, dass das Hadamardprodukt eine bedeutende Rolle in Statistik, Bildverarbeitung, Signalverarbeitung und maschinellem Lernen spielt, insbesondere in Bereichen, in denen Merkmals- oder Kovarianzstrukturen elementweise kombiniert werden. Der Begriff ist synonym mit Schur-Produkt.