Gruppteori

Gruppteori är en gren inom abstrakt algebra som studerar algebraiska strukturer som kallas grupper. En grupp är en mängd utrustad med en binär operation som uppfyller fyra axiom: slutenhet, associativitet, existensen av ett identitetselement och existensen av inversa element.

Slutenhet innebär att om man kombinerar två element i mängden med operationen, är resultatet också ett element i mängden. Associativitet säger att ordningen på operationen inte spelar någon roll när man kombinerar tre element: (a * b) * c = a * (b * c). Ett identitetselement är ett speciellt element, ofta betecknat med 'e', sådant att när det kombineras med något element 'a', förblir 'a' oförändrat: e * a = a * e = a. Slutligen, för varje element 'a' i gruppen finns ett invers-element, betecknat 'a⁻¹', sådant att deras kombination ger identitetselementet: a * a⁻¹ = a⁻¹ * a = e.

Gruppteori är fundamental inom många områden av matematik, inklusive talteori, geometri och topologi. Den har också viktiga tillämpningar inom fysik, särskilt i studiet av symmetrier, och inom datavetenskap, såsom kryptografi och algoritmisk design. Exempel på grupper inkluderar mängden heltal med addition som operation, eller mängden av alla icke-noll reella tal med multiplikation som operation. Även symmetrigrupper av geometriska objekt är centrala exempel. Studien av grupper kan delas upp i studiet av ändliga grupper och oändliga grupper.