identitetselementet

Identitetselementet är ett element e i en mängd S som utrustats med en binär operation ⋆, med egenskapen att e ⋆ a = a och a ⋆ e = a för alla a i S. Om endast ett av dessa två identitetssamband gäller för alla a talar man om ett vänster- eller högeridentitetselement. När båda villkoren gäller är e ett tvåsidigt identitetselement.

I allmänhet, om en struktur har en associerativ binär operation och ett identitetselement existerar, är det unikt. Om e och e' båda uppfyller identitetsegenskapen för alla element, så måste e = e ⋆ e' = e'.

Exempel. I heltal under addition är identitetselementet 0, och under multiplikation är identitetselementet 1. I mängden av n×n matriser är identitetselementet den diagonala identitetsmatrisen I_n. Under sammansättning av funktioner är identitetselementet den identitetsfunktionen id(x) = x. I en ring med enhet finns en additiv identitet (0) och en multiplikativ identitet (1). I fält har man båda identitetselementen.

Inverser. I en grupp har varje element en invers a^{-1} sådant att a ⋆ a^{-1} = a^{-1} ⋆ a = e.

Existens och betydelse. Inte alla algebraiska strukturer har ett identitetselement; semigrupper saknar oftast ett sådant. När det finns fungerar identitetselementet som neutralt element och ligger till grund för definierandet av inverser, homomorfier och andra strukturer inom algebra och teorin om algebraiska system.