identitetselement

Identitetselementet for en binær operasjon er et element som oppfører seg som en nøytral faktor i mellomrommet mellom andre elementer. For en mengde S og en binær operasjon * på S er et element e i S et identitetselement hvis for alle a i S gjelder a * e = a og e * a = a. Hvis bare den ene siden oppfylles, snakker man om et venstre identitetselement eller et høyre identitetselement; dersom begge sider gjelder, er det et tosidig identitetselement.

Eksistens og enhetlighet er viktige: hvis et identitetselement eksisterer i en struktur, er det unikt. I et semigruppesystem (semigrupper) trenger ikke et identitetselement å eksistere; i et monoid eller gruppe er et identitetselement en del av definisjonen eller kan bevises å eksistere og være unikt.

Eksempler illustrerer ideen: i tallmengden R under tillegg er 0 identitetselement fordi for alle a gjelder a + 0 = a og 0 + a = a. Under multiplikasjon er 1 identitetselementet fordi a · 1 = a og 1 · a = a for alle a i R. Funksjoner som opererer med sammensetning har identitetselementet id, der id(x) = x; for enhver funksjon f gjelder f ∘ id = id ∘ f = f. For kvadratiske matriser fungerer identitetsmatrisen I som identitetselement under matrise- multiplikasjon: A I = A og I A = A for alle passende A.

Tosidighet og definisjonen av identitetselementer spiller en sentral rolle i algebra og i bevaringen av strukturelle egenskaper gjennom homomorfier og inverser.