semigrupper

En semigruppe er en ikke-tom mengde S sammen med en binær operasjon ⋅: S × S → S som er assosiativ, det vil si at (a⋅b)⋅c = a⋅(b⋅c) for alle a, b, c i S. Semigrupper brukes i algebra som en generell struktur som tillater kombinasjon av elementer uten krav om identitet eller inverser.

En semigruppe trenger ikke ha identitet eller inverser. Hvis det eksisterer et element e i S slik at e⋅a = a⋅e = a for alle a i S, kalles S en monoid. Hvis hvert element har en invers, er S en gruppe. Mange semigruppetyper er dermed også monoid- eller gruppetilfeller.

Eksempler: Mengden av hele tall Z med addisjon er en semigruppe; den er også en gruppe siden addisjon er assosiativ og hvert tall har en invers (negativt tall) og 0 er identitet. Mengden av naturlige tall N med addisjon er også en semigruppe; den blir en monoid hvis vi inkluderer identiteten 0. Mengden {0,1} med multiplikasjon er en semigruppe og en monoid, men ikke en gruppe fordi 0 ikke har invers.

I semigruppe-teori studeres undersemigruppene og homomorfier, som bevarer operasjonen. Det finnes også spesialiserte varianter som idempotente semigrupper (a⋅a = a) og semilattiser (kommutative idempotente semigruppetyper). Semigrupper brukes også i informatikk og språkvitenskap, særlig gjennom syntaktiske semigruper som beskriver mønstre i språk.