slutenhet

Slutenhet är en grundläggande egenskap i topologi som beskriver hur en mängd förhåller sig till gränspunktar och närhet. En mängd F i ett topologiskt rum X är sluten om komplementet X \ F är öppet. Alternativt kan man säga att F innehåller alla sina gränspunktar; i ett rum där varje gränspunkt till F tillhör F.

Exempel: I R med den standarda topologin är mängder som [a,b], [a, ∞) och (−∞, b] slutna. Enskilda punkter {x} är också sluta. Mängden Q av rationella tal är däremot inte sluten i R eftersom den inte innehåller alla sina gränspunktar (t.ex. sqrt(2) är en gränspunkt till Q men ingår inte i Q).

Slutna mängder uppvisar vissa stabilitets-egenskaper: ändliga föreningar av slutna mängder är slutna, och godtyckliga snitt av slutna mängder är slutna. Motsatsen till slutenhet är öppenhet; komplementet till en öppen mängd är slutna, och vice versa. För varje mängd A i X finns dess slutenhet, cl(A), definierad som det minsta slutna mängden som innehåller A; cl(A) kan ses som snittet av alla slutna mängder som innehåller A. Det kan också uttryckas som cl(A) = X \ int(X \ A), där int(.) betecknar inre mängden.

Topologisk betydelse och konvergens: i allmänna rum används slutenhet för att definiera gränser och konvergens, och kontinuitet kan karakteriseras genom preimage av slutna mängder: en funktion f:X→Y är kontinuer om f^{-1}(C) är sluten i X för varje slutet C i Y (samtidigt som man ofta ser definitionen via öppna mängder). Slutenhet är därmed central för analys och geometrisk intuition om hur mängder sammanfaller och begränsas.