GroupEigenschaft

GroupEigenschaft bezeichnet in der Gruppentheorie eine Eigenschaft von Gruppen, die nur von ihrer Isomorphieklasse abhängt. Formal bedeutet dies: Eine Eigenschaft P wird als GroupEigenschaft bezeichnet, wenn, sofern zwei Gruppen G und H isomorph zueinander sind (G ≅ H), dann gilt, dass G die Eigenschaft P besitzt genau dann, wenn auch H sie besitzt. Solche Merkmale sind damit invarianten unter Isomorphismen und damit rein algebraische Eigenschaften der Gruppe.

Typische Beispiele für GroupEigenschaften sind unter anderem: Abelschheit (die Gruppe ist kommutativ), Finiteit (die Gruppe hat eine endliche Ordnung), Zyklichkeit (die Gruppe ist erzeugt durch ein einzelnes Element), Einfachheit (die Gruppe besitzt keine normalen Untergruppen außer trivialem und sich selbst), Lösbarkeit (existiert eine kurze Normalreihe mit abelschen Quotienten) und Nilpotenz. Weitere häufige Beispiele sind die Zugehörigkeit zu einer bestimmten Ordnung, die Eigenschaft, eine p-Gruppe zu sein oder der Exponent der Gruppe (g^n = e für alle Elemente g). All diese Eigenschaften bleiben bei einer Isomorphie erhalten.

Nicht alle Merkmale, die sich aus einer konkreten Darstellung einer Gruppe ergeben, zählen zu GroupEigenschaften. So ist zum Beispiel „G ist eine Untergruppe von S_n“ kein rein isomorphie-invariantes Attribut, da es von der konkreten Einbettung abhängt und nicht nur von der Gruppenstruktur.

GroupEigenschaften spielen eine zentrale Rolle bei der Klassifikation von Gruppen und der Strukturtheorie von Gruppen, etwa in der Untersuchung von Familien von Gruppen, die bestimmte invariante Merkmale teilen.