Grenzwerttests

Grenzwerttests bezeichnet in der Mathematik Verfahren, mit denen geprüft wird, ob eine Folge, eine Funktion oder eine Folge von Funktionen gegen einen Grenzwert konvergiert und gegebenenfalls der Grenzwert bestimmt wird. Sie spielen eine zentrale Rolle in der Analysis sowie in der numerischen Analysis, wenn das Verhalten von Prozessen im Grenzfall untersucht wird, etwa für n→∞ oder x→∞ bzw. x→c.

Typen der Grenzwerttests umfassen unter anderem Folgendes: Für Folgen sind Monotonie und Beschränktheit klassische Kriterien, die eine Konvergenz sicherstellen; das Cauchy-Kriterium besagt, dass eine Folge genau dann konvergiert, wenn sie eine Cauchy-Folge ist; der Bolzano-Weierstraß-Satz garantiert, dass in jeder beschränkten Folge in den reellen oder mehrdimensionalen Räumen eine konvergente Teilfolge existiert; um aus Teilfolgen eine eindeutige Grenzwertbestimmung abzuleiten, müssen meist alle Teilfolgen denselben Grenzwert besitzen oder weitere Eigenschaften wie Monotonie herangezogen werden. Für Reihen liefern Quotienten- oder Wurzeltests Kriterien zur Konvergenz oder Divergenz der Summenfolge; der Grenzwert einer Reihe entspricht dem Grenzwert der Summe der Glieder.

Für Funktionen betrachtet man Grenzwerte wie f(x)→L bei x→c oder x→∞; hierbei kommen Methoden wie Substitution, Faktorisieren, Vergleichssätze, Squeeze-Theorem oder gegebenenfalls L’Hôpital-Regel zum Einsatz, um den Grenzwert zu bestimmen.

Grenzwerttests dienen der Beurteilung des Stabilitäts- und Konvergenzverhaltens von Algorithmen, der Analyse von asymptotischen Modellen und der theoretischen Fundierung numerischer Verfahren.