Gradientordnung

Gradientordnung ist ein Begriff aus der Mathematik, der die Ordnung beschreibt, mit der der Gradient einer Funktion an einem bestimmten Punkt verschwindet. Er dient der Klassifikation von kritischen Punkten und der Beschreibung des lokalen Verhaltens einer Funktion durch deren Taylor-Entwicklung.

Definition: Sei f eine glatte Funktion von mehreren Variablen, f: R^n → R, und a ein Punkt in R^n. Man spricht von einer Gradientordnung m von f an a, wenn der Gradient ∇f(a) gleich null ist und alle partiellen Ableitungen von f bis zur Ordnung m−1 an a verschwinden, während mindestens eine Ableitung von Ordnung m nicht verschwindet. In dieser Sichtweise gilt: m = 0, wenn ∇f(a) ≠ 0 (nicht kritischer Punkt); m = 1 deutet auf einen nichtdegenerierten kritischen Punkt hin (Hesse-Matrix bestimmt das lokale Verhalten); höhere Werte von m kennzeichnen degenerierte kritische Punkte, bei denen weitergehende Terminologie und höhere Ableitungen nötig sind, um das lokale Muster zu beschreiben.

Zusammenhang und Anwendungen: Die Gradientordnung steht im Zusammenhang mit Begriffsfeldern wie Ordnung der vanishing (Verschwindensordnung) und Multiplikität kritischer Punkte. Sie wird in der Analysis mehrerer Variablen, der Singuläritätstheorie und der Numermethoden eingesetzt, um lokale Normalformen zu bestimmen, Stabilität zu analysieren und die Konvergenz von Gradientenmethoden in degenerate Fällen einzuschätzen.

Verwandte Konzepte: Gradient, kritischer Punkt, Taylorentwicklung, Hessian, Morse-Theorie, Singulitätstheorie, Ordnung des Verschwindens.

Hinweis: Der Begriff Gradientordnung wird in verschiedenen deutschsprachigen Texten unterschiedlich verwendet und ist kein standardisiertes, international fest etabliertes Schlagwort. Trotzdem fasst er sinnvoll zusammen, wie stark der Gradient an einem Punkt verschwindet und welche Informationen daraus über das lokale Verhalten der Funktion folgen.