Gradienterna

Gradienterna, eller gradientfältet, är ett centralt begrepp inom flerdimensionell analys. För ett skalärt fält f: R^n → R är gradientfältet ∇f en vektor som till varje punkt x ∈ R^n anger riktningen och hastigheten för den största ökningen av f. Vid varje punkt x är gradienten definierad som ∇f(x) = (∂f/∂x1, ..., ∂f/∂xn).

Geometriskt pekar ∇f(x) i riktningen där f ökar snabbast, och storleken |∇f(x)| ger hastigheten i den riktningen. Gradientfältet är ofta normalsydant mot nivåytor (eller nivålinjer i två dimensioner) av f, vilket innebär att gradienten är vinkelrät mot kurvorna av konstant värde.

Räknegång och betydelse: Den riktade derivatan av f i en enhetsriktning u ges av D_u f(x) = ∇f(x) · u. Gradientens komponenter är de partiella derivatorna av f, och i koordinater fungerar ∇f som den första ordningens bästa linjära approximation av f kring x: f(x + h) ≈ f(x) + ∇f(x) · h. Om f är kontinuerligt deriverbar, uppför sig ∇f som ett gradientfält.

Egenskaper och kopplingar: Vaftningar som ∇f är ett gradientfält, är curl∇f i generellt fritt fält noll i enkelt sammanhängande domäner. Kritiska punkter uppträder där ∇f(x) = 0, vilket ofta används för att hitta lokala optima. Hessianen ∇^2 f beskriver andra ordningens kurvatur och konvexitet.

Användningar: Gradienter är centrala i optimering, till exempel i gradientnedstigning där x uppdateras enligt x ← x − α∇f(x). Inom fysik används F = −∇U för att beskriva kraft som verkar i ett potentialfält. Inom bildbehandling används gradienter för kantdetektering och kantinformation.