Gleichungslösungen

Eine Gleichung ist eine Aussage, in der zwei Ausdrücke durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind. Eine Variable hat Werte, die die Gleichung erfüllen. Die Menge der Lösungen wird als Lösungsmenge bezeichnet; S = { x | f(x) = 0 }.

Gleichungen unterscheiden sich nach Typ und Komplexität. Lineare Gleichungen haben Ausdrücke ersten Grades; lineare Gleichungssysteme bestehen aus mehreren linearen Gleichungen. Quadratische Gleichungen besitzen Grad 2. Polynomgleichungen höherer Ordnung, Gleichungen mit trigonometrischen, exponentiellen oder logarithmischen Funktionen gehören ebenso dazu. Die Lösung kann real oder komplex sein; in vielen Anwendungen interessiert man sich vorwiegend für reale Lösungen.

Lösungsverfahren umfassen algebraische und numerische Methoden. Algebraische Techniken sind Umformen, Ausklammern, Faktorisierung, Substitution und Eliminierung. Für lineare Systeme gelten Gauss- oder Gauss-Jordan-Verfahren, sowie Cramers Regel bei Nicht-Singularität der Koeffizientenmatrix. Quadratische Gleichungen lösen sich mit der quadratischen Formel oder durch Faktorisierung. Polynome werden durch Nullstellenbestimmung gelöst; der Satz von Vielfachheiten und der Fundamentalsatz der Algebra geben Aufschluss über Anzahl und Lage der Lösungen. Numerische Verfahren wie das Newton-Verfahren oder das Bisektionsverfahren liefern Näherungslösungen, wenn eine exakte Lösung nicht in geschlossener Form vorliegt.

Existenz und Anzahl der Lösungen hängt vom Typ ab. Lineare Gleichungen haben meist eine eindeutige Lösung, oder unendlich viele oder keine. Polynomgleichungen haben in den komplexen Zahlen genau so viele Wurzeln wie der Grad, mit Vielfachheiten. Anwendungen finden sich in Geometrie, Physik, Wirtschaft und Technik.