Gitterautomorphismen

Gitterautomorphismen bezeichnen die Symmetrien eines Gitters in einem end-dimensionalen reellen Vektorraum. Ein Gitter Λ ist eine diskrete Untergruppe von V, die Λ⊗R den Raum V ausspannt. Eine Gitterautomorphismin bzw. ein Gitterautomorphismus ist eine bijektive lineare Abbildung f: V → V, die Λ auf Λ abbildet; damit gilt f(Λ) = Λ. Die Menge der Gitterautomorphismen bildet eine Gruppe unter Verkettung.

Man unterscheidet zwei gängige Perspektiven. Wird Λ als Z-Modul betrachtet, so ist Λ mithilfe einer Z-Basis isomorph zu Z^n, und Aut(Λ) ist isomorph zu GL(n, Z). Das bedeutet, alle invertierbaren ganzzahligen Basiswechsel, die das Gitter erhalten, gehören dazu. Wird zusätzlich eine positive Definitheit der inneren Produktstruktur betrachtet, so interessieren oft nur solche Automorphismen, die Λ und das innere Produkt erhalten; das führt zu orthogonalen Gitterautomorphismen, also A ∈ GL(n, Z) mit A^T G A = G, wobei G die Gram-Matrix des gewählten Basistranskripts ist. In diesem Fall ist die Automorphengruppe im positiven definiten Fall häufig endlich.

Beispiele. Das Standardgitter Z^n in R^n hat Aut(Λ) ≅ GL(n, Z). Für spezielle Gitter wie E8 oder die Leech-Lattice sind die Gruppen der Isometrien komplex und hochstrukturiert; beim Leech-Lattice entspricht die volle Gitterautomorphismengruppe der Conway-Gruppe Co0, deren Quotient durch {±1} die Gruppe Co1 ergibt.

Bedeutung. Gitterautomorphismen beschreiben die symmetrischen Eigenschaften eines Gitters, was in der Kristallographie, der Codes-Cprache, der Kugelpackungstheorie und der Theorie modularer Formen eine zentrale Rolle spielt. Sie helfen bei Klassifikungen, Symmetriestrukturen und der Zerlegung von Gitterstrukturen in invariant Unterräume.