Gewichtsfunktion

Eine Gewichtsfunktion, kurz Gewichtsfunktion, bezeichnet in der Mathematik eine Funktion, die bestimmten Elementen einer Menge Gewichte zuordnet. Typischerweise nimmt sie nicht negative Werte an und dient dazu, Beiträge einzelner Punkte oder Objekte in Berechnungen oder Modellen zu gewichten. Gewichtsfunktionen finden sich in mehreren Bereichen mit unterschiedlichen Interpretationen.

In der Analysis und Wahrscheinlichkeit definiert man oft eine Gewichtsfunktion w: D → [0, ∞), die messbar und möglichst integrierbar ist. Aus ihr lässt sich das gewichtete Integral definieren, etwa ∫ f(x) w(x) dx, das eine modifizierte Fläche oder Erwartung darstellt. Wird die Gewichtsfunktion so normiert, dass ∫ w(x) dx = 1, erhält man eine Wahrscheinlichkeitsverteilung mit dem Maß μ(A) = ∫A w(x) dx. Gewichtungen führen auch zu gewichteten Funktionsräumen, wie den gewichteten Lp-Räumen Lp_w, in denen die Beträge von Funktionen mit der Gewichtung w gemessen werden.

In der numerischen Analysis und der Approximationstheorie erscheinen Gewichtsfunktionen in Quadraturformeln, orthogonalen Polynomen und der Definition von inneren Produkten: ⟨f, g⟩_w = ∫ f(x) g(x) w(x) dx. Dadurch entstehen spezielle Klassen von Approximationen, z. B. Gaussian- oder Legendre-Polynome relativ zur gewählten Gewichtung.

In der Statistik und Datenanalyse kommen Gewichtungen bei gewichteten kleinsten Quadraten oder bei Monte-Carlo-Methoden (Importance Sampling) zum Einsatz, um Beiträge verschiedener Beobachtungen unterschiedlich zu behandeln.

Auch in der Graphentheorie werden Gewichtsfunktionen Edges oder Knoten zugewiesen, wodurch gewichtete Graphen entstehen, in denen Pfade, MSTs und Optimierungsprobleme durch die Summe der Gewichte bewertet werden.