Gaussabbildung

Die Gaussabbildung, auch Gauss map genannt, ist eine Abbildung, die jeder Stelle einer orientierten Fläche oder Untervariante im euklidischen Raum ihr Einheitsnormale zuordnet. Für eine orientierte Hypersurface M^n in R^{n+1 wählt man eine Einheitsnormale N(p) und erhält so die Gaussabbildung N: M^n → S^n, deren Ziel die n‑Sphäre ist. In R^3 gilt dies speziell für Flächen: N: M → S^2.

Die Ableitung dN_p hängt eng mit der Krümmung zusammen: Man hat dN_p(v) = -S_p(v), wobei S_p die Shape-Operator (Weingartenoperator) von M ist. Die Gausskrümmung K(p) ist det(S_p). Unter geeigneter Identifikation der Tangentialräume entspricht der Jacobi-Determinant von N dem Vorzeichen und dem Betrag der Krümmung; absichtlich ist K der Orientierung entsprechend der Jacobian von N.

Beispiele: Eine Ebene besitzt konstante Normale; N ist konstant. Eine Sphäre S^2 hat eine Normale N(p) = p, daher ist N (bis auf Orientierung) die Identität auf der S^2. Ein Zylinder hat Normale, die radial zur Achse zeigen; das Bild von N liegt auf einem großen Kreis der S^2 (eine S^1).

Anwendungen: Die Gaussabbildung verbindet Flächenkrümmung mit Topologie. Der Gauss-Bonnet-Satz zeigt die Beziehung ∫_M K dA = 2πχ(M) für kompakte Flächen. Für Minimalflächen in R^3 ist der Gaussabbildung harmonisch.

Allgemeine Version: In höherem Codimension ordnet die Gaussabbildung p die orientierte Tangentialebene an den Punkt, wobei der Zielraum der Grasmannian G(n, m) ist.