Gammafordelingen

Gammafordelingen, eller gammafördelningen, är en kontinuerlig sannolikhetsfördelning över positiva reella tal. Den kännetecknas av två formparametrar: form k > 0 och skala θ > 0 (eller alternativt form α > 0 och hastighet β > 0, där β = 1/θ). Denna tvåparametriga familj uppstår också som summan av flera oberoende exponentiellt fördelade variabler med samma hastighet.

Denna fördelning har två vanlig parameteriseringar. I skala-parametriseringens form är pdf:n f(x; k, θ) = x^{k-1} e^{-x/θ} / (Γ(k) θ^k) för x > 0. I hastighetsparametrisering är pdf:n f(x; α, β) = β^α x^{α-1} e^{-β x} / Γ(α) för x > 0, där α = k och β = 1/θ. CDF:n kan skrivas med den högre ofullständiga gammafunktionen: F(x) = γ(k, x/θ) / Γ(k); det finns ingen enkel sluten form för allmänna k.

Egenskaper: förväntningen är E[X] = k θ och variansen Var(X) = k θ^2 i skala-parametrisering; i hastighetsparametrisering är E[X] = α/β och Var(X) = α/β^2. MGF:n är M_X(t) = (1 − θ t)^{−k} för t < 1/θ (eller M_X(t) = (β/(β − t))^{α} för t < β). Exponentialfördelningen är ett särskilt fall med k = 1. χ²-fördelningen med ν frihetsgrader är en gamma-fördelning med form ν/2 och skala 2. Summan av oberoende gamma-fördelade variabler med samma skala är fortfarande gamma.

Användningar: gammafordelningen används bland annat för att modellera väntetider i Poissonprocesser, livslängder och fel‑ eller haveriförlopp i reliabilitetsstudier samt som Bayesiansk konjugat prior för Poisson‑hastighet.

Estimering: medelvärde m och varians s^2 ger metodens moment‑estimatorer k̂ = m^2 / s^2 och θ̂ = s^2 / m (eller α̂ = m^2 / s^2 och β̂ = m / s^2 i form av α och β). Maximum likelihood-estimation kräver oftast numeriska metoder när båda parametrarna skattas.