Füllkurve

Füllkurve, auch Raumfüllkurve genannt, bezeichnet in der Mathematik eine stetige Abbildung f von einem Intervall [0,1] in einen höherdimensionalen Raum, typischerweise das offene Quadrat [0,1]×[0,1]. Formal ist f: [0,1] → [0,1]^n mit n ≥ 2 eine surjektive Abbildung. Das bedeutet, dass jedes Punk t im Zielraum durch einen Parameterwert x im Intervall erreicht wird. Die Füllkurve ist damit ein kontinuierlicher Pfad, der das gesamte Zielgebiet „ausfüllt“.

Historisch gehören Peano (1890) und Hilbert (1891) zu den ersten, die Raumfüllkurven konstruieren. Bekannte Beispiele sind die Peano-Kurve und die Hilbert-Kurve, die jeweils durch rekursive Unterteilung des Zielraums entstehen. Weitere Varianten arbeiten mit unterschiedlichen Unterteilungsstrukturen und steigern die Dimension des Zielraums.

Wichtige Eigenschaften sind: Die Kurve ist stetig und surjektiv, aber in der Regel nicht injektiv; sie ist kein einfacher gerader Linienpfad, sondern zeigt eine hohe Verschachtelung und Selbstähnlichkeit. Die Abbildung besitzt fractale Eigenschaften und hat in vielen Ausprägungen eine Hausdorff-Dimension von 2. Der Bildraum eines Raumfüllkurven hat die volle Fläche des Zielquadrats, obwohl der Parameterraum nur eine Dimension besitzt.

Anwendungen finden sich in der Informatik und digitalen Bildverarbeitung. Raumfüllkurven dienen zur lokalinformation treue Abbildung von 2D-auf 1D-Raum in Speicherstrukturen, beispielsweise bei Bildrasterisierung, Datenindizierung (z. B. Hilbert- oder Morton-Kurve) sowie in Algorithmen zur räumlichenSortierung und Optimierung.