Fördelningsfunktionen

Fördelningsfunktionen, ofta betecknad F_X, beskriver hur sannolikheten för en slumptalsvariabel X fördelar sig upp till en viss gräns. Den definieras som F_X(x) = P(X ≤ x) för alla x i reala tal. F_X kan också uttryckas genom sannolikhetsmåttet μ på R som F_X(x) = μ((-∞, x]).

Egenskaperna hos fördelningsfunktionen är centrala. F_X är icke avtagande och högerkontinuerlig. Gränserna är: lim x→-∞ F_X(x) = 0 och lim x→+∞ F_X(x) = 1. Probabiliteten att X ligger i intervallet (a, b] kan beräknas som F_X(b) − F_X(a). Vid en diskret fördelning uppträder hopp i F_X vid atoms i distributionsstödet; vid en kontinuerlig fördelning är F_X kontinuerlig och saknar sådana hopp.

Relationen till densitet och mått är viktig. Om X har en täthet f med avseende på Lebesgue mått så uppfyller F_X(x) = ∫_{-∞}^x f(t) dt. I allmänhet är F_X helt bestämd av sannolikhetsmåttet μ, och för punkter där det finns atomsjäl kan storleken på hoppet där motsvara P(X = a).

Exempel: Fördelningen Uniform(0,1) har F(x) = 0 när x ≤ 0, F(x) = x när 0 < x < 1 och F(x) = 1 när x ≥ 1. Standardnormalfördelningen har F(x) = Φ(x), där Φ saknar sluten form men beskrivas via den s.k. felintegralen.

Användningar av fördelningsfunktionen inkluderar beräkning av sannolykligheter för intervall, bestämning av percentiler och kvantiler genom inversa fördelningsfunktionen. Den är grundläggande i sannolikhetsteori och statistik.