Funktionstypen

Funktionstypen bezeichnen in Mathematik und Informatik die Art der Funktionen, insbesondere welche Eingaben sie verarbeiten und welche Ausgaben sie liefern. In der Typnotation werden Funktionstypen oft als A -> B geschrieben, wobei A der Eingabetyp und B der Ausgabetyp ist. Bei Funktionen mit mehreren Argumenten kann man A × C -> B verwenden oder Currying einsetzen, sodass eine Funktion des Typs A -> B -> C eine Eingabe A in eine Funktion vom Typ B -> C abbildet.

In der Mathematik definiert eine Funktion f: A -> B jedem Element a aus A genau ein Element b aus B zu. Der Typ einer Funktion beschreibt damit die zulässigen Wertebereiche der Eingaben und Ausgaben.

In Programmiersprachen werden Funktionstypen oft als erstklassige Werte behandelt. Höhere Ordnung bedeutet, dass Funktionen andere Funktionen als Argumente akzeptieren oder als Ergebnisse liefern. Currying erleichtert die Repräsentation mehrstelliger Funktionen durch eine Verkettung von Typen.

Typisierungssysteme unterscheiden Grund- und erweiterte Typen. Im einfach typisierten Lambda-Kalkül hat jede Funktion den Typ A -> B, und Anwendungen sind strikt typisiert. Mit polymorphen Typen (Typvariablen wie α, β) und System F oder der Hindley-Milner-Typisierung lassen sich generische Funktionen formulieren und Typsicherheit gewährleisten.

Subtyping und Variance spielen in vielen Sprachen eine Rolle: Funktionsargumente sind häufig kontravariant, Funktionsresultate kovariant. Praktische Sprachen repräsentieren Funktionstypen oft über Interfaces oder Funktionstypen wie Function<T, R> (Java) oder Signaturen in TypeScript.

Funktionstypen schaffen klare Schnittstellen, unterstützen Abstraktion und Wiederverwendung und bilden eine zentrale Grundlage sowohl mathematischer als auch programmierpraktischer Konzepte.