Funktionsregressionen

Funktionsregressionen bezeichnet eine Gruppe von Regressionsmodellen, bei denen mindestens eine Prädiktor- oder Antwortvariable als Funktion vorliegt. In der Functional Data Analysis (FDA) werden beobachtete Kurven oder Funktionen X_i(t) über ein Intervall T als Prädiktoren oder Reaktionsgrößen verwendet. Ziel ist es, den Zusammenhang zwischen Funktionen und reellwertigen oder weiteren funktionalen Antworten zu schätzen, wobei Glättung und flexible Basisrepräsentationen eine zentrale Rolle spielen.

Zu den gängigen Typen gehören scalar-on-function regression, function-on-scalar regression und function-on-function regression. Beim scalar-on-function regression wird ein skalare Reaktion y_i durch eine funktionale Prädiktor X_i(t) erklärt: y_i = α + ∫ X_i(t) β(t) dt + ε_i. Beim function-on-scalar regression dient eine funktionale Antwort Y_i(t) als Reaktion auf mehrere skalare Prädiktoren x_i1, ..., x_ip: Y_i(t) = α(t) + ∑ β_r(t) x_ir + ε_i(t). Beim function-on-function regression wird eine funktionale Antwort Y_i(s) durch einen funktionalen Prädiktor X_i(t) erklärt: Y_i(s) = α(s) + ∫ β(s,t) X_i(t) dt + ε_i(s).

Die Schätzung erfolgt typischerweise über Basisrepräsentationen wie Splines oder Fourier-Basen, Projektion auf funktionale Hauptkomponenten (FPCA) sowie Regularisierung bzw. Glättung (penalisierte Regression). Dadurch lassen sich Koeffizientenflächen β(t) bzw. β(s,t) interpretierbar machen und Glätten an die Daten anpassen.

Anwendungen finden sich in Biomedizin, Umwelt- und Klimawissenschaften, Ökonomie und anderen Bereichen, in denen Zeitreihen- oder Kurvendaten eine zentrale Rolle spielen. Wichtige Methoden umfassen funktionale lineare Regression, FPCR sowie verschiedenste Ansätze der funktionalen Regression mit Glättung. Typische Software-Tools sind R-Pakete wie fda, refund und fdapace sowie Python-Bibliotheken wie scikit-fda.