Funktionskörper

Der Funktionskörper einer irreduziblen algebraischen Varietät X über einem Körper k, oft geschrieben k(X), ist das Feld der rationalen Funktionen auf X. Formal lässt sich k(X) als Menge der Äquivalenzklassen von offenen Teilmengen U ⊂ X, auf denen eine reguläre Funktion definiert ist, definieren, wobei zwei Funktionen auf überlappenden offenen Mengen als gleich gelten, wenn sie sich auf einer gemeinsamen Teilmenge gleich verhalten. Alternativ ist k(X) das Feld der Bruchteile regulärer Funktionen auf irgendeinem nicht leeren affinen offenen Teil von X; es ist unabhängig von der Wahl des offenen Aggregats.

Für affine irreduzible Varietäten ergibt sich k(X) als Feld der Quotienten des Koordinatenrings. Beispiele: k(A^n) = k(x1, ..., xn). Der Transzendenzgrad von k(X) über k ist gleich der Dimension von X. Ein Varietät X heißt rational, wenn k(X) eindeutig isomorph zu k(t1, ..., td) mit d = dim X ist; dies bedeutet, X ist birational zu A^d.

Birationale Invariante: k(X) ist eine Invariante der birationalen Klasse von X. Zwei Varietäten X und Y sind birational äquivalent genau dann, wenn ihre Funktionskörper k(X) und k(Y) isomorph zueinander sind. Folglich liefert k(X) wichtige Informationen über die Struktur von rationalen Funktionen auf X.

Morphismen: Sei f: X → Y eine dominante Morphismus zwischen irreduziblen Varietäten. Dann induziert f eine Inklusion k(Y) → k(X); bei endlichen Morphismen erhält man eine endliche Erweiterung von Funktionskörpern. Valuationen, Divisoren und Riemann-Roch-Theoreme lassen sich oft über k(X) betrachten.

Der Funktionskörper dient als zentrales Werkzeug in der birationalen Geometrie, der Theorie der rationalen Funktionen und der Beschreibung der algebraischen Strukturen von Varietäten.