Fundamentellösung

Fundamentellösung, auch Fundamentallösung genannt, bezeichnet in der Mathematik eine spezielle Lösung eines linearen Differentialoperators L, die die Gleichung L u = δ erfüllt, wobei δ die Dirac-Delta-Verteilung ist. Eine Fundamentellösung E wird im Sinne distributioneller Lösungen definiert: L E = δ in einem Raum wie ℝ^n oder in einem Gebiet Ω.

Eine Fundamentellösung dient dazu, Lösungen von L u = f durch Faltung mit δ- oder Verteilungsquellen zu erzeugen. Konkret gilt, sofern geeignete Randbedingungen vorliegen, u = f * E, und damit L u = f. Damit verknüpft sie die Differenzialgleichung mit Integrallösungen und bildet die Grundlage für Green’sche Funktionen und Potentialtheorie.

Als klassisches Beispiel dient der Laplace-Operator Δ auf ℝ^n. Eine Fundamentallösung Φ_n erfüllt Δ Φ_n = δ. Für n ≥ 3 hat sie typischerweise die Form Φ_n(x) = c_n |x|^{2-n}, während für n = 2 eine logarithmische Lösung Φ_2(x) ∝ log(1/|x|) entsteht; die Konstanten c_n richten sich nach der gewählten Normalisierung. Weitere Beispiele umfassen den Wärmeoperator ∂/∂t − Δ, dessen Fundamentallösung (der Wärme- oder Green-Kernel) p(t,x) = (4π t)^{-n/2} exp(-|x|^2/(4t)) für t > 0 ist, sowie die retarded Green’sche Funktion beim Wellenoperator.

In einem beschränkten Gebiet Ω erhält man eine Green-Funktion G(x,y), die L_x G(x,y) = δ_y in Ω mit passenden Randbedingungen erfüllt. Die Fundamentallösung ist damit eng mit Green’schen Funktionen verbunden und bildet das zentrale Werkzeug zur Darstellung von Lösungen, insbesondere bei Randwertproblemen und in der Potentialtheorie.

Fundamentellösungen sind ein fundamentales Konzept in PDE, Harmonic Analysis und theoretischer Physik. Ihre Existenz hängt von Eigenschaften des Operators ab (z. B. konstanter Koeffizienten, elliptische Operatoren); bei variablen Koeffizienten kann sie komplexer konzipiert werden.