Frequenzspektren

Frequenzspektren zeigen, wie die Energie eines zeitlichen Signals x(t) über die Frequenzen verteilt ist. Sie ermöglichen es, zu erkennen, welche Frequenzen in einem Signal enthalten sind, etwa Harmonien oder Rauschanteile. Das Spektrum wird durch die Fourier-Transformation bestimmt: X(f) = ∫ x(t) e^{-j 2π f t} dt. Bei digitalen Signalen erhält man das diskrete Spektrum X[k] = Σ_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2π k n / N}. Das Magnitudenspektrum |X(f)| gibt die Amplitudenanteile wieder, das Phasenspektrum beschreibt die Phasenbeziehungen, und das Leistungspektrum bzw. die Leistungsdichte S_x(f) zeigt die Energieverteilung über Frequenzen.

Begriffe: Das Amplitudenspektrum (Magnitudenspektrum) bezieht sich auf |X(f)|, das Phasenspektrum auf die Phase von X. Die Leistungsdichte S_x(f) gilt insbesondere für stochastische Signale und liefert die durchschnittliche Energie pro Frequenz; die Gesamtleistung ergibt sich aus dem Integral von S_x(f) über alle Frequenzen. Die Frequenzachse reicht bei einer Abtastrate Fs von 0 bis Nyquist (Fs/2).

Berechnung und Praxis: Finite Messdaten verursachen Fensterungseffekte und Leakage. Die Frequenzauflösung beträgt Δf ≈ 1/T, wobei T die Messdauer ist. Fensterfunktionen wie Hann oder Hamming mindern Leakage; Zero-Padding kann die Darstellung verbessern. Die Abtastrate bestimmt die höchste darstellbare Frequenz (Nyquist).

Anwendungen: Frequenzspektren kommen in der Akustik, Musik- und Signalverarbeitung, Vibro- und Strukturüberwachung, Elektronik, Kommunikation und Biomedizin (z. B. EEG) zum Einsatz. Für nicht-stationäre Signale liefern zeitlich aufgelöste Spektren wie das Spektrogramm STFT eine Darstellung der Frequenzinhalte über die Zeit.