Folgeperiode

Folgeperiode ist der Begriff für die Länge der wiederkehrenden Phase einer Folge. In der Mathematik heißt eine Folge (a_n) periodisch, wenn es eine positive ganze Zahl p gibt, so dass a_{n+p} = a_n für alle Indexwerte n, für die beide Glieder definiert sind. Diese Zahl p wird als Periode der Folge bezeichnet. Ist p die kleinste positive Zahl mit dieser Eigenschaft, spricht man von der Periode der Folge. Eine Folge ist rein periodisch, wenn a_{n+p} = a_n für alle n gilt; ist die Gleichung erst ab einem gewissen Startindex gültig, spricht man von einer letztlich (oder sukzessiv) periodischen Folge.

Beispiele: Die Folge a_n = (-1)^n ergibt -1, 1, -1, 1, ... und hat die Periode 2. Die Folge 0, 1, 0, 1, ... hat ebenfalls Periode 2. Die Folge 1, 2, 3, 1, 2, 3, ... besitzt die Periode 3.

Im Kontext der Dezimaldarstellung rationaler Zahlen ist die Folge der Zähler- bzw. Restwerte während einer langen Division periodisch, und die Länge der sich wiederholenden Stelle entspricht der Periode der Dezimaldarstellung. Für eine rationale Zahl p/q in vollständig gekürzter Form ergibt sich die Periodenlänge nach Entfernen von Faktoren 2 und 5 aus q als der Kleinstwert k, für den 10^k ≡ 1 mod q'.

Anwendungen finden sich in der Analyse von Zeitreihen, Signalverarbeitung und Kryptographie, wo das Verständnis der Periode hilft, wiederkehrende Muster zu modellieren und Folgeprozesse zu characterisieren.