Flächenmaßen

Flächenmaß bezeichnet in der Mathematik das Maß der Zweidimensionalität einer Teilmenge des euklidischen Raums R^2. Es ordnet jeder messbaren Fläche eine nichtnegative reelle Zahl zu, die als Flächeninhalt oder Fläche bezeichnet wird. In der Praxis entspricht das Flächenmaß dem Lebesgue-Maß der Ebene; historisch spielt auch das Jordan-Flächenmaß eine Rolle. Das Flächenmaß dient dazu, die Größe einer Fläche unabhängig von Lage oder Orientierung zu quantifizieren.

Zu den zentralen Eigenschaften gehören Monotonie (eine Teilmenge hat höchstens denselben Flächeninhalt wie ihre Obermenge), Abzählbarkeit der Additivität und Invarianz unter Translationen und Rotationen. Bei einer Transformation, die die Ebene durch eine lineare Abbildung x -> Ax abbildet, verändert sich der Flächenmaßfaktor mit dem Betrag der Determinante |det A|. Skalierung um den Faktor s führt zu einer Flächenvergrößerung um s^2. Das Maß ist auf der Ebene eindeutig definiert und deckt alle messbaren Teilmengen ab.

Maßeinheit ist Quadratmeter (m^2); kleinere Untereinheiten sind mm^2, cm^2, größere Einheiten km^2. In der geometrischen Praxis lässt sich der Flächeninhalt für einfache Figuren direkt berechnen: Rechteck Fläche a·b, Kreisfläche πr^2, Dreieck Fläche 1/2·Basis·Höhe. Für allgemeine Mengen R ⊆ R^2 ist der Flächeninhalt durch das Doppelintegral ∫∫_R dA definiert; in der Maßtheorie entspricht dies dem Lebesgue-Maß.

Anwendungen finden sich in Geometrie, Physik, Geoinformatik, Informatik und Statistik. Der Begriff lässt sich auf höhere Dimensionen erweitern (Flächenmaß in der Differentialgeometrie bzw. das entsprechende Hausdorffmaß der Dimension 2), wobei die Konzepte der Fläche zu einem allgemeinen Maßthema überführt werden.